Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, $BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Biết $SA=SC=SM=a\sqrt{5}$.
1) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ và cosin của góc giữa đường thẳng $SC$ với mặt phẳng $(SAB)$.
2) Gọi $E$ là trung điểm $SC$, $I$ là điểm nằm trên đoạn $AE$ sao cho khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(SHC)$. Tính độ dài đoạn thẳng $AI$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0;0;0)$, $B=(0;a;0)$, $C=(a\sqrt{3};0;0)$ (vì tam giác vuông tại $A$, $\hat{B}=60^{\circ }$ nên $AB=a$, $AC=a\sqrt{3}$, kiểm tra $BC=2a$). Khi đó $M=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $AM=CM=a$.

Vì $SA=SC=SM=a\sqrt{5}$ nên $H$ cách đều $A,C,M$, tức $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACM$. Giải hệ trung trực được $H=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};0\right)$, suy ra $HA=a$ nên $SH=\sqrt{S{A}^2-H{A}^2}=\sqrt{5a^2-a^2}=2a$.

**1)** Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

Góc giữa $SC$ và $(SAB)$: với $S=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};-\frac{a}{2};2a\right)$, có $\overrightarrow{SA}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};-2a\right)$, $\overrightarrow{SB}=\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{3a}{2};-2a\right)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SA}\times \overrightarrow{SB}=a^2\left(2;0;-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, và $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a\sqrt{3}}{2};\frac{a}{2};-2a\right)$. Khi đó
$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{SC}\cdot \vec{n}|}{|SC||\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{a\sqrt{5}\cdot \frac{a^2\sqrt{19}}{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{95}}=\frac{4\sqrt{285}}{95}\approx 0,711.$$

**2)** $E$ trung điểm $SC$: $E=\left(\frac{3a\sqrt{3}}{4};-\frac{a}{4};a\right)$. Mặt phẳng $(SHC)$ chứa đường thẳng đứng qua $H$ và điểm $C$, có phương trình $x-\sqrt{3}y=a\sqrt{3}$ (mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$), khoảng cách từ $(x;y;z)$ đến nó là $\frac{|x-\sqrt{3}y-a\sqrt{3}|}{2}$.

$I$ trên đoạn $AE$: $I=tE$ với $t\in [0;1]$, tọa độ $\left(\frac{3a\sqrt{3}t}{4};-\frac{at}{4};at\right)$. Khoảng cách tới $(ABC)$: $d_1=at$. Khoảng cách tới $(SHC)$: $d_2=\frac{a\sqrt{3}(1-t)}{2}$. Cho $d_1=d_2$: $2t=\sqrt{3}(1-t)\Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=2\sqrt{3}-3$.

$AE=\sqrt{\frac{27a^2}{16}+\frac{a^2}{16}+a^2}=\frac{a\sqrt{11}}{2}$. Vậy $AI=t\cdot AE=\frac{a\sqrt{11}(2\sqrt{3}-3)}{2}=\frac{a(2\sqrt{33}-3\sqrt{11})}{2}\approx 0,77a$.