Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a,BC=2a$. Hình chiếu của điểm $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $AC$, góc giữa $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Diện tích đáy: $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}a\cdot 2a=a^2$.
Cạnh huyền $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+4a^2}=a\sqrt{5}$.
Trong tam giác vuông $ABC$, hạ $BK\perp AC$ tại $K$.
Ta có $BK=\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{a\cdot 2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}$.
Vì $SH\perp (ABC)⟹SH\perp BK$, mà $BK\perp AC$ nên $BK\perp (SAC)$.
Do đó, góc giữa $SB$ và $(SAC)$ là góc $\widehat{BSK}=45^{\circ }$.
Tam giác $SBK$ vuông tại $K$ có $\widehat{BSK}=45^{\circ }⟹SB=\frac{BK}{\sin 45^{\circ }}=BK\sqrt{2}=\frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $H$ là trung điểm của cạnh huyền $AC$ nên $BH=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SHB$ tại $H$, chiều cao khối chóp là:
$SH=\sqrt{S{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{\frac{8a^2}{5}-\frac{5a^2}{4}}=\sqrt{\frac{7a^2}{20}}=\frac{a\sqrt{35}}{10}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{35}}{10}=\frac{a^3\sqrt{35}}{30}$.