Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a$, $BC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$; mặt khác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SA$. Đúng.
b) $BC\perp SA$ và $BC\perp AB$ với $SA,AB\subset (SAC)$, hai đường thẳng cắt nhau, nên $BC\perp (SAC)$. Đúng.
c) Hình chiếu của $SC$ trên $(ABC)$ là $AC$ (vì $SA\perp (ABC)$), nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=BC=a$ nên $AC=a\sqrt{2}$. Khi đó $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đúng.
d) $S_{ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{a^2}{2}$, nên $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\ne \frac{a^3\sqrt{2}}{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$; kết hợp $BC\perp AB$ suy ra $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp SA$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp SA$ và $BC\perp AB$, với $SA,AB\subset (SAC)$ cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc cần tìm là $\widehat{SCA}$ với $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow 45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$, không bằng $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.