Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $BA=BC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $ABC$ và $SB=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AC$ và kẻ $MN\perp SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0). Vì SA⊥(ABC) và SB=a√2 nên SA=√(SB²−AB²)=a, suy ra S(a,0,a). M là trung điểm AC nên M(a/2,a/2,0).
a) SA⊥(ABC) nên SA⊥AC. Đúng.
b) Tam giác ABC vuông cân tại B nên BM là trung tuyến ứng với cạnh huyền, do đó BM⊥AC; lại SA⊥(ABC) nên SA⊥BM. Vậy BM⊥(SAC). Đúng.
c) SC=(−a,a,−a), N=S+t(−a,a,−a). Điều kiện MN⊥SC: (M−S)·SC=0 với M−S=(−a/2,a/2,−a), tích vô hướng = a²/2+a²/2+a²=2a², |SC|²=3a², nên t=2/3. N=(a/3,2a/3,a/3), BN=a√(1/9+4/9+1/9)=a√6/3 ≠ a√3/3. Sai.
d) MN=(−a/6,a/6,a/3), |MN|=a√6/6, |BN|=a√6/3, MN·BN=a²/6, cos(MN,BN)=(a²/6)/(a²·6/18)=1/2 nên góc bằng 60°, không phải 30°. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABC) nên SA vuông với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đáy, kể cả AC.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, BM là trung tuyến của cạnh huyền AC nên BM⊥AC; mặt khác SA⊥(ABC) nên SA⊥BM. Vậy BM⊥(SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ B(0,0,0), A(a,0,0), C(0,a,0), S(a,0,a), M(a/2,a/2,0), tìm N trên SC với MN⊥SC được N=(a/3,2a/3,a/3), suy ra BN=a√6/3, không bằng a√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN=(−a/6,a/6,a/3), |MN|=a√6/6, |BN|=a√6/3, MN·BN=a²/6 nên cos=1/2, góc bằng 60° chứ không phải 30°.