Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và có độ dài cạnh huyền bằng $2a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy.

1) Chứng minh rằng $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$.

2) Tính diện tích hình chiếu của tam giác $SBC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

(AI giải đề cho tôi)
1) Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$.

2) Vì $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$; các điểm $B,C$ có hình chiếu là chính chúng. Vậy hình chiếu của tam giác $SBC$ lên $(ABC)$ là tam giác $ABC$.

Cạnh huyền $AC=2a$, tam giác vuông cân tại $B$ nên $AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ (cũng là diện tích hình chiếu cần tìm):
$$S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2.$$