Cho hình chóp $S.ABC$, gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $N$ là điểm nằm trên cạnh $SC$ sao cho $SN=2NC$; $P$ là điểm trên cạnh $SA$ sao cho $PA=2PS$. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{BMNP}}{V_{S.ABC}}$.

Ta có $M$ là trung điểm $SB⟹\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}$.
$SN=2NC⟹\frac{SN}{SC}=\frac{2}{3}$.
$PA=2PS⟹\frac{SP}{SA}=\frac{1}{3}$.
Theo công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác:
$\frac{V_{S.PMN}}{V_{S.ABC}}=\frac{SP}{SA}\cdot \frac{SM}{SB}\cdot \frac{SN}{SC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{9}$.
Khoảng cách từ $B$ đến $(PMN)$ so với khoảng cách từ $S$ đến $(PMN)$:
Vì $M$ là trung điểm của $SB$ nên $d(B,(PMN))=d(S,(PMN))$.
Do đó thể tích khối tứ diện $B.PMN$ bằng thể tích khối tứ diện $S.PMN$:
$V_{BMNP}=V_{S.PMN}=\frac{1}{9}{V}_{S.ABC}$.
Vậy $\frac{V_{BMNP}}{V_{S.ABC}}=\frac{1}{9}$.