Cho hình chóp $S.ABCD$, $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$; $SA=3a$ và $SA\perp (ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3\ne 3a^3$ → Sai.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $AC\perp BD$ và $SO\perp BD$ (do $BD\perp (SAC)$), vậy góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$ → Đúng.
c) $AB\perp AD$ (hình vuông) và $AB\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $AB\perp (SAD)$ → Đúng.
d) Tọa độ: $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),S(0,0,3a),M(0,\frac{a}{2},\frac{3a}{2})$. Đường $BC$ qua $B(a,0,0)$ có VTCP $\vec{u}=(0,1,0)$; đường $AM$ có VTCP $\vec{v}=(0,1,3)$. $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(3,0,0)$, $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$, nên $d(AM,BC)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{3a}{3}=a\ne a\sqrt{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3\ne 3a^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp (SAC)$ nên góc nhị diện $[S,BD,C]$ là $\widehat{SOC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ tính được $d(AM,BC)=a\ne a\sqrt{2}$.