Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $H,I,K$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $KD$, $N$ là giao điểm của $DH$ và $CI$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;1)$. Khi đó $H(0;0;\frac{1}{2}),I(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}),K(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$.

a) Trong tam giác $SAB$, $H,I$ là trung điểm $SA,SB$ nên $HI\parallel AB\parallel CD$. Vì $HI$ không nằm trong $(ABCD)$ mà song song với $AB\subset (ABCD)$ nên $HI\parallel (ABCD)$. Đúng.

b) $HI\parallel AB$ và $IK\parallel BC$ (trung tuyến của tam giác $SBC$), $HI$ cắt $IK$ tại $I$, cùng nằm trong $(HIK)$; còn $AB,BC$ cắt nhau tại $B$ trong $(ABCD)$. Vậy $(HIK)\parallel (ABCD)$. Đúng.

c) Tính giao điểm: $AI$: $A+t(\frac{1}{2};0;\frac{1}{2})$; $KD$: $(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})+u(-\frac{1}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2})$. Giải hệ được $t=2,u=-1$, tức $M(1;0;1)$. Tương tự $N=DH\cap CI=(0;-1;1)$. Đường thẳng $SM$ đi qua $S(0;0;1)$ và $M(1;0;1)$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ (mặt $y=0$), có phương hướng $(1;0;0)$; đường $HI$ cũng nằm trong $(SAB)$ với phương hướng $(1;0;0)$. Vậy $SM\parallel HI$ (không chéo nhau). Sai.

d) $S,M(1;0;1),N(0;-1;1)$ đều có tung độ $z=1$ nên mặt phẳng $(SMN)$ là mặt phẳng $z=1$, song song với $(HIK)$ (mặt phẳng $z=\frac{1}{2}$, vì $(HIK)\parallel (ABCD)$). Hai mặt phẳng song song nên không cắt nhau. Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c sai, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$HI$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $HI\parallel AB\subset (ABCD)$, mà $HI\not\subset (ABCD)$, suy ra $HI\parallel (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$HI\parallel AB$ và $IK\parallel BC$ (đường trung bình tam giác $SBC$), hai đường này cắt nhau tại $I$ và song song với hai đường cắt nhau $AB,BC$ trong $(ABCD)$, nên $(HIK)\parallel (ABCD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $S(0;0;1),A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0)$, ta có $M=AI\cap KD=(1;0;1)$. Khi đó $SM$ nằm trong $(SAB)$ và song song với $AB$; cũng trong $(SAB)$, $HI\parallel AB$. Vậy $SM\parallel HI$, hai đường thẳng song song chứ không chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $M=AI\cap KD=(1;0;1)$ và $N=DH\cap CI=(0;-1;1)$, cùng với $S(0;0;1)$ cả ba điểm đều nằm trên mặt phẳng $z=1$. Mặt khác $(HIK)$ là mặt phẳng $z=\frac{1}{2}$ (song song với $(ABCD)$). Vậy $(SMN)\parallel (HIK)$, hai mặt phẳng không cắt nhau.