Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Khi đó

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;2a;0)$, $S(0;0;2a)$.
a) Trong hình chữ nhật $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ ngược hướng → Sai.
b) $\overrightarrow{SC}=(a;2a;-2a)$, $\overrightarrow{AC}=(a;2a;0)$; $\cos =\frac{a^2+4a^2}{3a\cdot \sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745$, góc $\approx 41,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai.
c) $M$ trung điểm $SB$: $M\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{a^2}{2}$ → Đúng.
d) $N$ trung điểm $SD$: $N(0;a;a)$; $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}=\left(\frac{a}{2};-a;0\right)$, độ dài $=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ nên hai vectơ ngược hướng, không cùng hướng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AC})=\frac{5a^2}{3a\cdot \sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\approx 0,745$ nên góc $\approx 41,8^{\circ }\ne 60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB})$ nên $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(0+a^2)=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{NM}$ với $M\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $N(0;a;a)$, độ dài $=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.