Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AC=4a$, $BC=2a$. Đỉnh $S$ cách đều các điểm $A,B,C$. Biết góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Chọn B.
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, có $AC=4a$, $BC=2a\Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{16a^2-4a^2}=2a\sqrt{3}$.
Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot BC=2a\sqrt{3}\cdot 2a=4a^2\sqrt{3}$.
Vì $S$ cách đều $A,B,C$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, tức là trung điểm $H$ của cạnh huyền $AC$.
Do đó $SH\perp (ABCD)$ và $BH=\frac{AC}{2}=2a$.
Góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBH}=45^{\circ }\Rightarrow SH=BH\tan 45^{\circ }=2a$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}(4a^2\sqrt{3})(2a)=\frac{8a^3\sqrt{3}}{3}$.