Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2$, góc $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $OB$ và $SH=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Chọn hệ trục tọa độ không gian vuông góc $Oxyz$ với gốc tọa độ đặt tại giao điểm hai đường chéo $O(0;0;0)$.
Trục $Ox$ nằm dọc theo đường thẳng $AC$, do tam giác $ABD$ đều cạnh $2$ nên đường cao $AO=\sqrt{3}\Rightarrow A(\sqrt{3};0;0)$.
Trục $Oy$ nằm dọc theo đường thẳng $BD$, do $OB=1\Rightarrow B(0;1;0)$ và $D(0;-1;0)$. Do đó vectơ chỉ phương của đường thẳng $BD$ là $\overrightarrow{u_1}=(0;1;0)$.
Điểm $H$ là trung điểm $OB\Rightarrow H\left(0;\frac{1}{2};0\right)$. Vì $SH\perp (ABCD)$ và $SH=\sqrt{3}$ nên tọa độ đỉnh là $S\left(0;\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $SA$ là $\overrightarrow{u_2}=\overrightarrow{AS}=\left(-\sqrt{3};\frac{1}{2};\sqrt{3}\right)$.
Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương làm vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}]=(\sqrt{3};0;\sqrt{3})\parallel (1;0;1)$.
Khoảng cách chéo nhau giữa $BD$ và $SA$ sử dụng hai điểm đại diện $O\in BD$ và $A\in SA$:
$d=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{OA}|}{|\vec{n}|}=\frac{|1\cdot \sqrt{3}+0+0|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\approx 1,22$. Đáp số: 1,22.