Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAB$, $A^{\prime }$ là hình chiếu song song của $G$ lên đường thẳng $SA$ theo phương chiếu $AB$. Trên các cạnh $BC$ và $CD$ lần lượt lấy các điểm $E$ và $F$ sao cho $\widehat{EAF}=45^{\circ }$. Đặt $BE=x,DF=y$ $(x,y>0)$, gọi $V$ là thể tích của khối chóp $A^{\prime }.AEF$. Biết $V=\frac{a^2(x+y)\sqrt{3}}{m}$, tìm $m$.