Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $\widehat{SAD}=90^{\circ }$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trọng tâm $\Delta SAB$; $\Delta SCD$, $I$ là giao điểm của các đường thẳng $BM$; $CN$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và $(SMN)$?

b) Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$ và các mặt của hình chóp?

Giải (theo hướng dẫn chấm đề chẵn):



Gọi E và F lần lượt là trung điểm AB và CD.

a) Ta có $S\in (SAD)\cap (SMN)$.

Ta có: $MN//EF//AD$; $AD\subset (SAD)$; $MN\subset (SMN)$; $(SAD)\cap (SMN)=Sy$.

Suy ra $Sy//AB//CD$.

Vậy giao tuyến của mặt phẳng $(SAD)$ và $(SMN)$ là đường thẳng $Sy$ thỏa mãn $Sy//AB//CD$.

b) Ta có $I=BM\cap CN$, suy ra $I\in BM\subset (SAB)$ và $I\in CN\subset (SCD)$, do đó $I\in (SAB)\cap (SCD)$.

Mà $S\in (SAB)\cap (SCD)$. Do đó $(SAB)\cap (SCD)=SI$.

Ta có: $AB//CD$; $AB\subset (SAB)$; $CD\subset (SCD)$; $(SAB)\cap (SCD)=SI$, suy ra $SI//AB//CD$. Vì $SI//CD$ nên $SI//CF$.

Theo định lý Ta – let ta có: $\frac{SI}{CF}=\frac{SN}{NF}=2\Rightarrow SI=2CF=CD=a$.

Gọi $J$ là giao điểm của $SD$ và $IC$. Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng $(AIC)$ và các mặt của hình chóp là tam giác $ACJ$.

+ Tứ giác $SIDC$ là hình bình hành $\Rightarrow J$ là trung điểm của $SD,CI$.

Mặt khác, $AC=SD=a\sqrt{2}\Rightarrow AJ=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+ Tứ giác $SIAB$ là hình bình hành $\Rightarrow AI=AB=a$.

Xét tam giác $IAC$ có $C{I}^2=2(A{C}^2+A{I}^2)-4A{J}^2=4a^2\Rightarrow CI=2a\Rightarrow CJ=a$.

Ta có: $\cos \widehat{CAJ}=\frac{A{J}^2+A{C}^2-C{J}^2}{2\cdot AC\cdot AJ}=\frac{\frac{a^2}{2}+2a^2-a^2}{2a^2}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \sin \widehat{CAJ}=\frac{\sqrt{7}}{4}$

Diện tích thiết diện là $S_{\Delta AJC}=\frac{1}{2}AC\cdot AJ\cdot \sin \widehat{CAJ}=\frac{1}{2}a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{a^2\sqrt{7}}{8}$ (đvdt).

Lưu ý: Mọi cách giải khác nếu đúng đều được điểm tối đa.