Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$, có diện tích bằng $a^2$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích $V$ của khối chóp $S.ABD$ bằng

Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ có diện tích $a^2\Rightarrow \frac{1}{2}SA\cdot AC=\frac{1}{2}A{C}^2=a^2\Rightarrow AC=a\sqrt{2}$ và $SA=a\sqrt{2}$.
Mặt phẳng $(SAC)\perp (ABCD)$ theo giao tuyến $AC$ mà $SA\perp AC\Rightarrow SA\perp (ABCD)$. Vậy $SA$ là đường cao hình chóp.
Đáy $ABCD$ hình vuông có đường chéo $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow$ cạnh hình vuông bằng $a$. Diện tích $△ABD$ bằng $\frac{1}{2}{a}^2$.
Thể tích khối chóp: $V_{S.ABD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{△ABD}=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
Chọn D.