Lớp 12/1 có $25$ bạn nam và $10$ bạn nữ; lớp 12/2 có $20$ bạn nam và $15$ bạn nữ. Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt giao lưu với đơn vị kết nghĩa, Đoàn trường chọn ngẫu nhiên từ hai lớp trên mỗi lớp $2$ học sinh. Sau khi nhóm $4$ bạn đã tập hợp, cả nhóm bầu ngẫu nhiên một bạn trong số đó làm nhóm trưởng.

Lớp 12/1 có $25$ nam, $10$ nữ (tổng $35$). Lớp 12/2 có $20$ nam, $15$ nữ (tổng $35$).
a) Vì quy trình chọn đồng đều từ mỗi lớp $2$ bạn, khi biết nhóm trưởng thuộc lớp 12/1 thì xác suất nhóm trưởng là nữ bằng tỉ lệ nữ của lớp 12/1: $P=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}\ne \frac{3}{7}$. Mệnh đề a) SAI.
b) Xác suất chọn được nhóm trưởng nữ:
$P(\text{Nữ})=\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{35}+\frac{1}{2}\cdot \frac{15}{35}=\frac{1}{2}\cdot \frac{25}{35}=\frac{5}{14}$. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Áp dụng công thức Bayes:
$P(12/1|\text{Nữ})=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{35}}{\frac{5}{14}}=\frac{\frac{1}{7}}{\frac{5}{14}}=\frac{2}{5}$. Mệnh đề c) ĐÚNG.
d) Biến cố "Nhóm trưởng là nữ và $3$ bạn còn lại đều là nam" gồm hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Chọn $1$ nữ, $1$ nam từ lớp 12/1 và $2$ nam từ lớp 12/2, rồi chọn bạn nữ làm nhóm trưởng: $P_1=\frac{C_{10}^1\cdot C_{25}^1}{C_{35}^2}\cdot \frac{C_{20}^2}{C_{35}^2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{250}{595}\cdot \frac{190}{595}\cdot \frac{1}{4}=\frac{47500}{4\cdot 595^2}$.
- Trường hợp 2: Chọn $2$ nam từ lớp 12/1 và $1$ nữ, $1$ nam từ lớp 12/2, rồi chọn bạn nữ làm nhóm trưởng: $P_2=\frac{C_{25}^2}{C_{35}^2}\cdot \frac{C_{15}^1\cdot C_{20}^1}{C_{35}^2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{300}{595}\cdot \frac{300}{595}\cdot \frac{1}{4}=\frac{90000}{4\cdot 595^2}$.
Xác suất đồng thời: $P_1+P_2=\frac{137500}{4\cdot 595^2}=\frac{34375}{595^2}=\frac{1375}{14161}$.
Xác suất có điều kiện cần tìm: $P=\frac{1375/14161}{5/14}=\frac{550}{2023}$. Mệnh đề d) ĐÚNG.