Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với $100\text{ m}$. Một trạm kiểm soát ven biển có vùng nhận diện tín hiệu là một khối cầu bán kính $800\text{ m}$, tâm của trạm đặt tại $I(1;2;1,2)$. Vào lúc $8$ giờ $00$ phút sáng, một tàu đánh cá di chuyển thẳng đều từ vị trí $A(16;-13;0)$ đến vị trí $B(-14;17;0)$ và đến nơi lúc $8$ giờ $30$ phút sáng cùng ngày.

a) Vì hệ trục tọa độ quy ước $1$ đơn vị $=100\text{ m}$, nên bán kính mặt cầu tương ứng là $R=\frac{800}{100}=8$. Phương trình mặt cầu đúng phải là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1,2{)}^2=8^2=64$. Mệnh đề a) SAI.
b) Thời gian tàu đi từ $A$ đến $B$ là $30$ phút. Vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}=(-30;30;0)$, vectơ vận tốc mỗi phút là $\vec{v}=\frac{1}{30}\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$.
Tại thời điểm $8\text{h}10$ (sau $t=10$ phút), vị trí của tàu là $M=A+10\vec{v}=(6;-3;0)$.
Ta có $I{M}^2=(6-1{)}^2+(-3-2{)}^2+(0-1,2{)}^2=25+25+1,44=51,44<R^2=64$, nên tàu nằm trong vùng nhận diện. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Vị trí tổng quát của tàu theo thời gian $t$ (phút) là $M(t)=(16-t;-13+t;0)$.
$I{M}^2(t)=(15-t{)}^2+(t-15{)}^2+(-1,2{)}^2=2(t-15{)}^2+1,44$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=15$ phút (tức là lúc $8$ giờ $15$ phút). Mệnh đề c) SAI.
d) Tàu nằm trong vùng nhận diện khi $I{M}^2(t)\le 64\iff 2(t-15{)}^2+1,44\le 64\iff (t-15{)}^2\le 31,28\iff |t-15|\le \sqrt{31,28}\approx 5,59$.
Thời gian tàu ở trong vùng nhận diện là $\Delta t=2\sqrt{31,28}\approx 11,19$ phút $\le 12$ phút. Mệnh đề d) ĐÚNG.