Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$ và điểm $A(2;-3)$.

a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0,\forall x\ne 1$, nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Mệnh đề a) SAI.
b) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng $I(1;1)$. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Giao điểm của $(C)$ với trục tung là $M_0(0;-2)$. Hệ số góc tiếp tuyến tại $M_0$: $y^{\prime }(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến là $y=-3x-2$. Thay $A(2;-3)$ vào: $-3\ne -3(2)-2=-8$, nên tiếp tuyến không đi qua $A$. Mệnh đề c) ĐÚNG.
d) Tịnh tiến hệ trục tọa độ về tâm đối xứng $I(1;1)$ bằng cách đặt $X=x-1,Y=y-1$. Hàm số trở thành $Y=-\frac{3}{X}$ (hay xét đối xứng: trên hệ trục cũ $y-1=\frac{3}{x-1}\iff Y=\frac{3}{X}$). Tọa độ điểm $A$ trong hệ trục mới là $A(1;-4)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $I(0;0)$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$ nên có dạng $Y=kX$ với $k>0$. Khi đó $kX=\frac{3}{X}\iff X=\pm \sqrt{\frac{3}{k}}$, suy ra $M\left(\sqrt{\frac{3}{k}};\sqrt{3k}\right)$ và $N\left(-\sqrt{\frac{3}{k}};-\sqrt{3k}\right)$.
Do $I$ là trung điểm $MN$: $S_{△AMN}=2S_{△AIM}=|X_A{Y}_M-Y_A{X}_M|=\left|1\cdot \sqrt{3k}-(-4)\cdot \sqrt{\frac{3}{k}}\right|=\sqrt{3}\left(\sqrt{k}+\frac{4}{\sqrt{k}}\right)\ge \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{\sqrt{k}\cdot \frac{4}{\sqrt{k}}}=4\sqrt{3}$.
Dấu "$=$" xảy ra khi $k=4$. Vậy diện tích nhỏ nhất của tam giác $AMN$ bằng $4\sqrt{3}$. Mệnh đề d) ĐÚNG.