Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SD$ sao cho $SM=2MD$, $P$ là trung điểm cạnh $AD$.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Mặt phẳng $(BPM)$ cắt $SC$ tại $Q$. Tính $\frac{SQ}{SC}$.

a) Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AB$, $CD$ nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $d$ qua $S$ và song song với $AB$ (và $CD$).

b) Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $K=BP\cap CD$. Hai tam giác $PAB$ và $PDK$ bằng nhau (vì $PA=PD$, $AB\parallel DK$) nên $DK=AB=CD$, tức $D$ là trung điểm $CK$.

Ta có $K\in BP\subset (BPM)$ nên $(BPM)\cap (SCD)=KM$. Trong mặt phẳng $(SCD)$, gọi $Q=KM\cap SC$ thì $Q=(BPM)\cap SC$.

Trong tam giác $SCK$, $SD$ là đường trung tuyến và $SM=2MD$ nên $M$ là trọng tâm tam giác $SCK$. Do đó đường thẳng $KM$ đi qua trung điểm của $SC$, tức $Q$ là trung điểm $SC$.

Vậy $\frac{SQ}{SC}=\frac{1}{2}$.