Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA$, $SB$, trên cạnh $SC$ lấy điểm $P$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $SD$ tại $Q$. Chứng minh $MNPQ$ là hình thang.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SA$, $SB$ nên $MN\parallel AB$.

Vì $MN\parallel AB$ và $AB\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$. Mặt phẳng $(MNP)$ đi qua $MN$ và cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $d$ đi qua $P$, suy ra $d\parallel MN\parallel AB$.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, do đó $d\parallel CD$. Mà $P\in SC\subset (SCD)$ và $CD\subset (SCD)$ nên $d\subset (SCD)$. Trong mặt phẳng $(SCD)$, đường thẳng qua $P$ song song với $CD$ cắt $SD$ tại $Q$, tức giao tuyến $d$ chính là đường thẳng $PQ$. Vậy $PQ\parallel CD\parallel AB\parallel MN$.

Suy ra $MN\parallel PQ$, tức tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối song song.

Mặt khác, $MN=\frac{1}{2}AB$ (đường trung bình của tam giác $SAB$), còn trong tam giác $SCD$ có $\frac{PQ}{CD}=\frac{SP}{SC}$. Vì $P$ là điểm bất kỳ trên cạnh $SC$ (nói chung $P$ không trùng trung điểm $SC$) nên nói chung $\frac{SP}{SC}\ne \frac{1}{2}$, do đó $PQ\ne MN$.

Vậy $MNPQ$ là tứ giác có đúng một cặp cạnh đối song song và hai cạnh đó không bằng nhau, tức $MNPQ$ là hình thang. $■$