Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của các hình bình hành $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$, $O^{\prime }$ là tâm hình bình hành $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) ĐÚNG. Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AB\parallel CD$, mà $CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$, suy ra $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.

b) SAI. Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\subset (AC{D}^{\prime })$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (AC{D}^{\prime })$ (vì $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$). Hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime },B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$, đồng thời $A^{\prime },B$ không thuộc $(AC{D}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng $(AC{D}^{\prime })$ và $(B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ song song với nhau. Do đó chúng không có giao tuyến (không thể là đường thẳng $O{O}^{\prime }$).

c) SAI. Trong hình hộp, cạnh đối diện với cạnh $BC$ là cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (cạnh song song với $BC$, nằm trên mặt đối diện và không cùng thuộc một mặt nào với $BC$). Cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng nằm trong mặt $(ABCD)$, chỉ là cạnh kề song song trong hình bình hành $ABCD$, không phải cạnh đối diện của hình hộp.

d) ĐÚNG. $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ mà $AC\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$? Xét kỹ: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ nên $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ nên $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng $BD,B{C}^{\prime }$ cắt nhau tại $B$ và cùng song song với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, còn $D\notin (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BD{C}^{\prime })$.

Đường chéo $C{A}^{\prime }$: với hệ gốc $A$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}$ (vector chỉ lên trên). Điểm trên $C{A}^{\prime }$: $M=\overrightarrow{AC}+t(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{AC})$. Giải $M\in (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tức $M=s(\overrightarrow{AB}+\vec{u})+u(\overrightarrow{AD}+\vec{u})$ cho $s=u=\frac{1}{3}$, $t=\frac{2}{3}$, nên $M=\frac{2\vec{u}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$, đúng bằng trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AB\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $AB\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$, hai đường thẳng này cắt nhau tại $C^{\prime }$ và cùng song song với $(AC{D}^{\prime })$, nên $(AC{D}^{\prime })\parallel (B{A}^{\prime }{C}^{\prime })$; hai mặt phẳng song song nên không có giao tuyến là $O{O}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cạnh đối diện của $BC$ trong hình hộp là $A^{\prime }{D}^{\prime }$; cạnh $AD$ song song với $BC$ nhưng cùng thuộc mặt $(ABCD)$, không phải cạnh đối diện.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ nên $(BD{C}^{\prime })\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; đường chéo $C{A}^{\prime }$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại điểm $\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A{D}^{\prime }}}{3}$ đúng là trọng tâm tam giác $A{B}^{\prime }{D}^{\prime }$.