Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$
2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$
3. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $ABI$, $K$ là điểm trên cạnh $SB$ sao cho $SB=3SK$.
a) Chứng minh $MK\parallel (SAC)$
b) Chứng minh $(MNK)\parallel (SAC)$.
c) Tìm $H$ là giao điểm của $DK$ và $(SAC)$. Tính $\frac{HK}{HD}$.
d) Tìm $E$ là giao điểm của $SA$ và $(DKN)$. Tính $\frac{ES}{EA}$.
4. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song mặt phẳng $(SDC)$. Tìm giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt của hình chóp.

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải Bài 21 (hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm I).

1) Vì ABCD là hình bình hành nên AB ∥ CD. Ta có AB ⊂ (SAB), CD ⊂ (SCD), hai mặt phẳng này có điểm S chung. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d qua S và song song với AB (đồng thời song song với CD).

2) AC ∩ BD = I (hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại tâm I). Cả (SAC) và (SBD) đều chứa S và I. Vậy giao tuyến của (SAC) và (SBD) là đường thẳng SI.

3a) Gọi O là trung điểm của AC (O cũng là trung điểm BD). Vì M là trọng tâm tam giác ABC nên M nằm trên trung tuyến BO. K trên SB với SK = SB/3, tức K chia SB theo tỉ số SK/KB = 1/2, do đó K = (2S + B)/3. Mặt khác M = (A + B + C)/3. Suy ra vectơ MK = K − M = (2S + B − A − B − C)/3 = (2S − A − C)/3 = 2(S − O)/3. Vậy MK ∥ SO, mà SO ⊂ (SAC), M ∉ (SAC). Do đó MK ∥ (SAC).

3b) I là trung điểm AC nên I = (A + C)/2. N là trọng tâm tam giác ABI nên N = (A + B + I)/3 = (3A + 2B + C)/6. Do đó vectơ MN = N − M = (3A + 2B + C − 2A − 2B − 2C)/6 = (A − C)/6, tức MN ∥ AC. Mà AC ⊂ (SAC) nên MN ∥ (SAC). Ta có MN ∥ (SAC), MK ∥ (SAC), MN và MK cắt nhau tại M, cùng nằm trong (MNK). Vậy (MNK) ∥ (SAC).

3c) Thiết lập hệ toạ độ minh hoạ: A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), S(0;0;1). Khi đó K = (2S + B)/3 = (1/3; 0; 2/3). Đường thẳng DK: D + t(K − D) = (t/3; 1 − t; 2t/3), với t = 0 tại D và t = 1 tại K. Mặt phẳng (SAC) có phương trình x − y = 0 (qua A, C(1;1;0), S(0;0;1)). Thay vào: t/3 = 1 − t ⇒ t = 3/4, suy ra H = (1/4; 1/4; 1/2), H nằm giữa D và K. Vì H ứng với t = 3/4 nên HD = (3/4)DK và HK = (1/4)DK. Vậy HK/HD = 1/3.

3d) N = (3A + 2B + C)/6 = (1/2; 1/6; 0). Mặt phẳng (DKN) có vectơ pháp tuyến n = DK × DN với DK = (1/3; −1; 2/3), DN = (1/2; −5/6; 0), tính được n ∝ (5; 3; 2). Phương trình (DKN): 5x + 3y + 2z = 3 (thay D(0;1;0)). Điểm E thuộc SA: E = (0; 0; s), thay vào: 2s = 3 ⇒ s = 3/2, tức E = (0; 0; 3/2). Trên đường thẳng SA: A có z = 0, S có z = 1, E có z = 3/2, nên ES = 1/2 và EA = 3/2. Vậy ES/EA = 1/3.

4) Mặt phẳng (SDC) chứa hai đường thẳng cắt nhau SD và DC (DC ∥ AB). Mặt phẳng (α) qua M và song song (SDC) thì song song với SD và DC. Lấy Q, P lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua M song song với DC với AD và BC (do M là trọng tâm tam giác ABC nên AQ = AD/3, BP = BC/3; QP ∥ DC). Khi đó:
- Giao tuyến của (α) với mặt đáy (ABCD) là QP (QP ∥ DC).
- Trong mặt (SAD), đường thẳng qua Q song song với SD cắt SA tại R; vì AQ = AD/3 và QR ∥ SD nên theo định lý Thales AR = AS/3. Giao tuyến của (α) với (SAD) là QR (QR ∥ SD).
- Trong mặt (SAB), đường thẳng qua R song song với AB cắt SB tại R'; vì AR = AS/3 và RR' ∥ AB nên theo định lý Thales SR' = (2/3)SB (tức BR' = SB/3). Giao tuyến của (α) với (SAB) là RR' (RR' ∥ AB).
- Trong mặt (SBC), giao tuyến của (α) với (SBC) là đoạn PR' (nối P với R').
- Vì (α) ∥ (SDC) nên (α) không cắt mặt (SCD).
Vậy thiết diện của (α) với hình chóp là tứ giác QPR'R, với Q ∈ AD (AQ = AD/3), P ∈ BC (BP = BC/3), R ∈ SA (AR = AS/3), R' ∈ SB (SR' = (2/3)SB, BR' = SB/3). Kiểm tra lại bằng toạ độ: (SDC) có phương trình y + z = 1, (α) qua M(2/3; 1/3; 0) nên có phương trình y + z = 1/3; giao với z = 0 cho QP, với x = 0 (mặt SAD) cho QR với R(0; 0; 1/3) tức AR = AS/3, với y = 0 (mặt SAB) cho RR' với R'(2/3; 0; 1/3) tức SR' = (2/3)SB và BR' = SB/3, với mặt (SBC): x + z = 1 cho đoạn PR'; tất cả khớp với kết quả trên.