Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật $ABCD$ và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy. Biết $SA=2,AB=\sqrt{2},AC=\sqrt{3}$. Gọi $O$ là giao điểm của 2 đường chéo $AC$ và $BD$. Khi đó, các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai. Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$. Ta có: $\{\begin{array}{l}AD\parallel BC\\ BC\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow AD\parallel (SBC)\Rightarrow d(D;(SBC))=d(A;(SBC))=AH$. Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, ta có: $AH=\sqrt{\frac{A{B}^2\cdot A{S}^2}{A{B}^2+A{S}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

b) Đúng. $\{\begin{array}{l}AD\parallel BC\\ BC\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow AD\parallel (SBC)$.

c) Sai. Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow$ Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Do đó, $(SC;(ABCD))=(SC;AC)=\widehat{SCA}$. Xét $\Delta SCA$, ta có: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2}{\sqrt{3}}$.

d) Đúng. Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AK\perp SD$ (1). Mặt khác, $\{\begin{array}{l}AB\perp SA\\ AB\perp AD\end{array}\Rightarrow AB\perp (SAD)\Rightarrow AB\perp AK$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $AK$ là đoạn vuông góc chung của $SD,AB$ $\Rightarrow d(SD;AB)=AK$. Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, ta có: $AK=\sqrt{\frac{A{D}^2\cdot A{S}^2}{A{D}^2+A{S}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
a) Trong mặt phẳng $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$. Ta có: $\{\begin{array}{l}AD\parallel BC\\ BC\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow AD\parallel (SBC)\Rightarrow d(D;(SBC))=d(A;(SBC))=AH$. Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, ta có: $AH=\sqrt{\frac{A{B}^2\cdot A{S}^2}{A{B}^2+A{S}^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Khẳng định a) Sai.
b) $\{\begin{array}{l}AD\parallel BC\\ BC\subset (SBC)\end{array}\Rightarrow AD\parallel (SBC)$. Khẳng định b) Đúng.
c) Ta có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow$ Hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Do đó, $(SC;(ABCD))=(SC;AC)=\widehat{SCA}$. Xét $\Delta SCA$, ta có: $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{2}{\sqrt{3}}$. Khẳng định c) Sai.
d) Trong mặt phẳng $(SAD)$, kẻ $AK\perp SD$ (1). Mặt khác, $\{\begin{array}{l}AB\perp SA\\ AB\perp AD\end{array}\Rightarrow AB\perp (SAD)\Rightarrow AB\perp AK$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $AK$ là đoạn vuông góc chung của $SD,AB$ $\Rightarrow d(SD;AB)=AK$. Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$, ta có: $AK=\sqrt{\frac{A{D}^2\cdot A{S}^2}{A{D}^2+A{S}^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$. Khẳng định d) Đúng.