Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $SA$ vuông góc với $(ABCD)$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ bằng $60^{\circ }$, khi đó

[IMAGE_1]

Gọi $O$ là giao điểm của $AC,BD$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $SC$. Khi đó $SC\perp (HBD)$ vì $SC\perp BD,SC\perp OH$.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ là góc giữa hai đường thẳng $HB,HD$.

Vì $△SCD=△SBC\Rightarrow HB=HD$.

Đặt $SA=x(x>0)$.

Ta có $\cos 60^{\circ }=\frac{|H{B}^2+H{D}^2-B{D}^2|}{2HB\cdot HD}\iff H{B}^2=|2H{B}^2-B{D}^2|\iff [\begin{array}{l}H{B}^2=B{D}^2\\ H{B}^2=\frac{B{D}^2}{3}\end{array}$.

Ta có $△CHO\sim △CSA\Rightarrow OH\cdot CS=CO\cdot SA(1)$.

Trong tam giác $ABC$ ta có $AC=a\sqrt{3},OB=\frac{a}{2}\Rightarrow BD=a$.

TH1: $HB=BD=a\Rightarrow OH=\sqrt{H{B}^2-O{B}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thay vào $(1)$ ta có $x=\sqrt{x^2+3a^2}$ (vô nghiệm).

TH2: $HB=\frac{BD\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow OH=\sqrt{H{B}^2-O{B}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Thay vào $(1)$ ta có $\frac{a^2}{12}(x^2+3a^2)=\frac{3a^2}{4}{x}^2\Rightarrow x=\frac{a\sqrt{6}}{4}$.