Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $\frac{3\sqrt{7}}{7}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

Đáp án: $1,5$.
[IMAGE_1]
Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
Tam giác $SAB$ đều, suy ra $SH\perp AB$, mà $(SAB)\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp (ABCD)$.
Gọi $E$ là hình chiếu của $H$ trên $SM$. Suy ra $HE\perp SM$ và $HE\perp CD$ (do $CD\perp (SHM)$ vì $CD\perp SH,HM$). Do đó $HE\perp (SCD)$.
Vì $AB\parallel (SCD)$ nên $d(H,(SCD))=d(A,(SCD))=HE=\frac{3\sqrt{7}}{7}$.
Xét tam giác $SHM$ vuông tại $H$, có $MH=AB$, $SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}$.
Suy ra $\frac{1}{H{E}^2}=\frac{1}{H{M}^2}+\frac{1}{H{S}^2}=\frac{7}{3A{B}^2}=\frac{7}{9}\Rightarrow AB=\sqrt{3},SH=\frac{3}{2}$.
Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot (\sqrt{3}{)}^2=1,5$.