Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang $(AB\parallel CD)$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm của $△SAD$ và $△SBC$.
a) Lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Chứng minh rằng $EF\parallel MN$. Từ đó chứng minh $EF\parallel AB$.
b) Xác định giao tuyến $d$ của mặt phẳng $(AEF)$ và $(SCD)$. Chứng minh $d\parallel EF$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 3.** Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang $(AB\parallel CD)$; $E,F$ lần lượt là trọng tâm của $△SAD$ và $△SBC$.

**a) Chứng minh $EF\parallel MN$ và $EF\parallel AB$.**

Gọi $I$ là trung điểm của $SA$, $J$ là trung điểm của $SB$.
- $E$ là trọng tâm $△SAD$ nên $E$ nằm trên trung tuyến $SI$ với $\frac{SE}{SI}=\frac{2}{3}$.
- $F$ là trọng tâm $△SBC$ nên $F$ nằm trên trung tuyến $SJ$ với $\frac{SF}{SJ}=\frac{2}{3}$.

Xét $△SIJ$: vì $\frac{SE}{SI}=\frac{SF}{SJ}=\frac{2}{3}$, theo định lý Thales ta có $EF\parallel IJ$.

Mặt khác, trong $△SAB$, $I,J$ là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$. Vậy $EF\parallel AB$. (1)

Vì $AB\parallel CD$ và $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD,BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$, do đó $MN\parallel AB$. Kết hợp với (1) suy ra $EF\parallel MN$. $■$

**b) Xác định giao tuyến $d$ của $(AEF)$ và $(SCD)$; chứng minh $d\parallel EF$.**

*Lưu ý: $E$ chỉ thuộc mặt phẳng $(SAD)$, không thuộc $(SCD)$, nên không thể dựng giao tuyến qua $E$ trong $(SCD)$; phải đi qua giao điểm của đường thẳng $AE$ với $(SCD)$.*

- Từ câu a): $EF\parallel AB$ và $AB\parallel CD$ nên $EF\parallel CD$. Vì $CD\subset (SCD)$ và $EF\not\subset (SCD)$ nên $EF\parallel (SCD)$.
- Trong mặt phẳng $(SAD)$, đường thẳng $AE$ cắt cạnh $SD$ tại điểm $P$ (vì $E$ nằm trong tam giác $SAD$, tia $AE$ cắt cạnh đối diện $SD$). Khi đó $P\in AE\subset (AEF)$ và $P\in SD\subset (SCD)$, tức $P$ thuộc giao tuyến $d=(AEF)\cap (SCD)$.
- Mặt phẳng $(AEF)$ chứa đường thẳng $EF$ với $EF\parallel (SCD)$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$, nên theo định lý về giao tuyến, $d\parallel EF$.

**Kết luận:** Giao tuyến $d$ là đường thẳng đi qua $P=AE\cap SD$, nằm trong mặt phẳng $(SCD)$ và song song với $EF$ (đồng thời $d\parallel CD$). $■$