Cho tứ diện $ABCD$, gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA$. Gọi $H=AN\cap MC$, $K=AP\cap CQ$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: M là trung điểm AB nên M thuộc cạnh AB, không nằm trong mặt phẳng (BCD) (tứ diện không suy biến).
b) Đúng: H ∈ AN ⊂ (ANP) và H ∈ MC ⊂ (MCQ); K ∈ AP ⊂ (ANP) và K ∈ CQ ⊂ (MCQ). Vậy H, K chung của hai mặt phẳng nên HK = (ANP) ∩ (MCQ).
c) Đúng: Trong tam giác ABC, AN và MC là hai trung tuyến nên H là trọng tâm tam giác ABC, tức $\vec{H}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$. Tương tự K là trọng tâm tam giác ACD: $\vec{K}=\frac{\vec{A}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{HK}=\vec{K}-\vec{H}=\frac{\vec{D}-\vec{B}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$, nên HK ∥ BD.
d) Sai: Từ $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ ta có $\frac{HK}{BD}=\frac{1}{3}\ne \frac{2}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm của AB nên M không thuộc mặt phẳng (BCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
H thuộc AN và MC, K thuộc AP và CQ, nên H, K chung của (ANP) và (MCQ); do đó HK là giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
H, K lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD nên $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$, suy ra HK ∥ BD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{HK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$ nên HK/BD = 1/3, không phải 2/3.