Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, biết $AB=2CD=2AD=2a$, $SA\perp (ABCD)$, $SC=a\sqrt{6}$.

Ta có $AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=a\sqrt{2}$ và $SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{6a^2-2a^2}=2a$.
a) Đúng. Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$.
b) Sai. Ta có $(SB,(ABCD))=(SB,AB)=\widehat{SBA}=45^{\circ }$ do tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$.
c) Sai. Gọi $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow AMCD$ là hình vuông cạnh $a$. Gọi $H,K$ là hình chiếu vuông góc của $M,A$ trên $SB$. Ta có $\{\begin{array}{l}CM\perp AB\\ CM\perp SA\end{array}\Rightarrow CM\perp (SAB)\Rightarrow CM\perp SB$. Mặt khác $MH\perp SB\Rightarrow (CMH)\perp SB$. Suy ra $[A,SB,C]=\widehat{MHC}$. Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$, $SA=AB=2a$ nên $AK=\frac{1}{2}SB=a\sqrt{2}\Rightarrow MH=\frac{1}{2}AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Xét tam giác $CMH$ vuông tại $M\Rightarrow CH=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và $\cos \widehat{CHM}=\frac{MH}{CH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
d) Đúng. Ta có $\{\begin{array}{l}CD\perp SA\\ CD\perp AD\end{array}\Rightarrow CD\perp (SAD)$.