Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=2$, $M$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AM=1$. Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $DM$, $E$ là điểm thuộc cạnh $DC$ sao cho $DE=\frac{2}{3}DC$ (như hình vẽ bên).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $C(3;0)$, $A(0;2)$, $B(3;2)$, $M(1;2)$.

a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó $\overline{AB}=-\overline{CD}\ne \overline{CD}$. → Sai.

b) Đường $AC$: $y=2-\frac{2}{3}x$; đường $DM$: $y=2x$. Giải hệ được $I\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MC}=(2;-2)$, $\overrightarrow{IA}=\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{IA}=(2;-2)+(-3;2)=(-1;0)=\overrightarrow{MA}$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=(0;2)+(3;0)=(3;2)$ nên $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\ne 2\sqrt{13}$. → Sai.

d) $ADMK$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DM}=(1;2)$, suy ra $K=A+(1;2)=(1;4)$; kiểm tra $\overrightarrow{MK}=(0;2)=-\overrightarrow{AD}$, thỏa mãn. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó $\overline{AB}=-\overline{CD}\ne \overline{CD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $I$ của $AC$ và $DM$ là $I\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{IA}=(2;-2)+4\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)=(-1;0)=\overrightarrow{MA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=(0;2)+(3;0)=(3;2)$ nên độ dài bằng $\sqrt{13}\ne 2\sqrt{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ADMK$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DM}=(1;2)$, suy ra $K=A+(1;2)=(1;4)$; kiểm tra $\overrightarrow{MK}=(0;2)$ song song với $\overrightarrow{AD}$, thỏa mãn.