Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,AD=2a,A{A}^{\prime }=3a$. Góc phẳng nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$ bằng bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $A^{\prime }(0;0;3a)$. Ta có $\overrightarrow{BD}=(-a;2a;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a;0;3a)$. Vectơ pháp tuyến của $(A^{\prime }BD)$: $\vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(6a^2;3a^2;2a^2)\propto (6;3;2)$. Mặt phẳng $(ABD)$ có pháp tuyến $\vec{k}=(0;0;1)$. Góc nhị diện $[A^{\prime },BD,A]$: $\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{36+9+4}}=\frac{2}{7}$, suy ra $\theta =\arccos \frac{2}{7}\approx 73,4^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 73,4.