Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$ có $AB=AD=a$, $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, $B^{\prime }(a;0;2a)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$, $D^{\prime }(0;a;2a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a-0;0-a;2a-0)=(a;0;2a)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a\cdot a+0+0=a^2$. Đúng.

b) Các vecto khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (phương $AB$) là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ — tất cả 8 vecto, không phải 3. Sai.

c) $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ (do $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, cùng hướng) và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (vì $ABCD$ là hình vuông, $BC\parallel AD$ cùng hướng, cùng độ dài $a$). Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$. $\cos (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp bảng đáp án nguồn (4a D, 4b S, 4c D, 4d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$: $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a;0;2a)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$, không phải 3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ vì $BC\parallel AD$, cùng hướng, cùng độ dài $a$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$, $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.