Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD}=120^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$, góc tạo bởi $C^{\prime }G$ với mặt phẳng đáy bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là

**Chọn D**



Ta có $\widehat{BAD}=120^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $a$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD}=2S_{\Delta ABC}=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Vì $G$ là trọng tâm $\Delta ABD$ nên $AG=\frac{2}{3}AO=\frac{1}{3}AC\Rightarrow CG=\frac{2}{3}AC=\frac{2a}{3}$.
Vì $C$ là hình chiếu vuông góc của $C^{\prime }$ trên $(ABCD)$ nên $GC$ là hình chiếu của $G{C}^{\prime }$ trên $(ABCD)$.
Góc giữa $C^{\prime }G$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C^{\prime }GC}=30^{\circ }$.
Chiều cao hình hộp: $C{C}^{\prime }=CG\cdot \tan 30^{\circ }=\frac{2a}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2a\sqrt{3}}{9}$.
Thể tích khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là:
$V=C{C}^{\prime }\cdot S_{ABCD}=\frac{2a\sqrt{3}}{9}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3}{3}$.