Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,E$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $AB$. Mặt phẳng $(BMN)$ có song song với mặt phẳng $(A^{\prime }{C}^{\prime }E)$ hay không? Vẽ hình và giải thích.

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), A'=(0,0,1), B'=(1,0,1), C'=(0,1,1). Khi đó M=(1/2,0,1), N=(1/2,1/2,1), E=(1/2,0,0).

Mặt phẳng (BMN): vectơ BM=(-1/2,0,1), BN=(-1/2,1/2,1), pháp tuyến n₁ = BM×BN = (-1/2,0,-1/4) ∝ (2,0,1). Phương trình: 2x+z=2.

Mặt phẳng (A'C'E): vectơ A'C'=(0,1,0), A'E=(1/2,0,-1), pháp tuyến n₂ = A'C'×A'E = (-1,0,-1/2) ∝ (2,0,1).

Hai mặt phẳng có cùng pháp tuyến (2,0,1). Kiểm tra E=(1/2,0,0): 2·(1/2)+0=1≠2 nên E không thuộc (BMN), tức hai mặt phẳng phân biệt.

Vậy (BMN) ∥ (A'C'E). Khẳng định này cũng có thể chứng minh bằng phương pháp truyền thống: MN ∥ B'C' ∥ BC nên MN ∥ (A'BC')... cách tọa độ trên đã xác nhận kết quả khớp với đáp án nguồn 'Có'.

Hình vẽ: lăng trụ ABC.A'B'C' với M, N trên mặt trên (trung điểm A'B', B'C'), E là trung điểm AB trên mặt dưới; hai tam giác BMN và A'C'E nằm trong hai mặt phẳng song song.