Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên CC' tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Tính cosin góc tạo với $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$, (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(2a;0;0), D(0;2a√3;0), C(2a;2a√3;0), O(a; a√3; 0). Vì hình chiếu của A' là O nên A' = O + v với v = AA' là vectơ chỉ phương của cạnh bên. Thành phần phương ngang của v có độ dài |AO| = 2a. Cạnh bên tạo với đáy góc 60° nên tan60° = h/(2a) ⇒ h = 2a√3, do đó A'(a; a√3; 2a√3). Vectơ A'C = (a; a√3; −2a√3), |A'C| = 4a. Mặt phẳng (A'BD): BD = (−2a; 2a√3; 0), BA' = (−a; a√3; 2a√3), pháp tuyến n = BD×BA' = (12a²; 4a²√3; 0) ∝ (3; √3; 0), |n| = 2√3. sin góc giữa A'C và (A'BD) = |A'C·n|/(|A'C||n|) = 6a/(8a√3) = √3/4. Vậy cos = √(1 − 3/16) = √13/4 ≈ 0.9014 ≈ 0.9, khớp đáp án 0.9.