Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang, $BC$ là đáy lớn và $BC=2AD$; các mặt bên là các hình chữ nhật; $A{A}^{\prime }=\sqrt{42}$, $C^{\prime }{D}^{\prime }=11$; $M$ là trung điểm của cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng $A^{\prime }C$ với mặt phẳng $(BD{C}^{\prime })$.

b) Gọi $N$ là điểm nằm trên cạnh $C^{\prime }{D}^{\prime }$ thỏa mãn $D^{\prime }N=2C^{\prime }N$. Các điểm $I$, $K$ lần lượt thuộc các đường thẳng $B^{\prime }D$ và $A^{\prime }N$ sao cho hai đường thẳng $IK$ và $CM$ song song với nhau. Tính độ dài của đoạn thẳng $IK$.