Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giao điểm đường và mặt hình học thuần túy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E\in AC$ nên $E\in (ABC)$. Vì $M\in SA,N\in SC$ nên $MN\subset (SAC)$, suy ra $E\in (SAC)$. Lại có $E\in MN\subset (BMN)$ nên $E\in (BMN)$. Nếu $E\in (SBC)$ thì $E$ thuộc giao tuyến $(SAC)\cap (SBC)=SC$, tức $E\in SC$; nhưng $E\in AC$ và $E\ne C$ (vì $M,N$ nằm trên cạnh nên $MN$ không đi qua $C$), mâu thuẫn. Vậy $E$ không thuộc $(SBC)$.

Hướng dẫn chấm (1,0 điểm) - Mã đề 102, 104, 106, 108:
0,25: +) Vẽ hình đúng có thể hiện trên hình vẽ đầy đủ các điểm E,H,H
0,25: +) Nêu được E là điểm chung của (SAC) và (EHK)
0,25: +) Trong (ABCD), gọi $O=AC\cap BD$. Trong (SBD), gọi $I=HK\cap SO$. Mà $SO\subset (SAC),HK\subset (EHK)$. Nên I là điểm chung của (SAC) và (EHK). Suy ra $EI=(SAC)\cap (EHK)$
0,25: +) Trong (SAC), gọi $F=SC\cap EI$. Mà $EI\subset (EHK)$ nên $F=SC\cap (EHK)$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ trục gốc S với các vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

b) $\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{SE}-\overrightarrow{SK}=\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}$, không tỉ lệ với $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$, nên $KE$ không song song $BC$ → Sai.

c) $E\in SC\subset (SCD)$ nên $E$ nằm trên mặt phẳng $(SCD)$ → Đúng.

d) Vì $AD\parallel BC$, $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$ → Đúng.

a) Điểm $H=KE\cap (SAD)$: viết $P=K+t(E-K)=\frac{1}{2}\vec{b}+t\left(\frac{1}{3}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\right)$ và $P=\alpha \vec{a}+\beta (\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$. So sánh hệ số: $\beta =-\frac{1}{2}$, $\frac{t}{3}=-\frac{1}{2}\Rightarrow t=-\frac{3}{2}$. Vậy $H$ nằm ngoài đoạn $KE$ phía trên $K$, khi đó $\frac{HE}{HK}=\frac{|t-1|}{|t|}=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}\approx 1,67\ne 0,76$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp đáp án SSDD của mã đề 1111.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính theo tọa độ gốc S: H ứng với tham số t = -3/2 trên đường thẳng KE nên HE/HK = 5/3 ≈ 1,67 ≠ 0,76 → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ KE = (1/3)c − (1/2)b không tỉ lệ với BC = c − b nên KE không song song BC → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
E thuộc SC nên E thuộc mặt phẳng (SCD) → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) nên BC ∥ (SAD) → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ (trang 2): tứ diện $ABCD$ với $M\in AB$, $Q\in AD$, $P\in BD$, $N\in AC$, và điểm $I$ nằm trên phần kéo dài của đường thẳng $QP$ (ngoài tứ diện). Vì $Q\in AD$ và $P\in BD$ nên cả $Q$ và $P$ đều thuộc mặt phẳng $(ABD)$, suy ra đường thẳng $QP\subset (ABD)$. Điểm $I$ nằm trên đường thẳng $QP$ (phần kéo dài) nên $I\in (ABD)$. Vậy khẳng định đúng là B. Ghi chú: do $Q\in AD$ nên mặt phẳng $(ABQ)$ thực chất trùng với $(ABD)$, tuy nhiên cách xác định điểm $I$ trong hình là qua đường thẳng $QP$ nằm trong mặt phẳng $(ABD)$, và đáp án của đề là $I\in (ABD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ vì $M\in SA$, $N\in SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $M$ là trung điểm $SA$ nên $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}$, còn $N$ không là trung điểm $SB$ nên $\frac{SN}{SB}\ne \frac{1}{2}$. Suy ra $MN$ không song song với $AB$, do đó $MN$ cắt $AB$ tại một điểm $Q$. Điểm $Q\in AB\subset (ABC)$ và $Q\in MN$, nên $Q$ chính là giao điểm của $MN$ với $(ABC)$. Vậy giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ với $O$ là gốc: $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(-1,0,0)$, $D(0,-1,0)$, $S(0,0,h)$ với $h=SO>0$.

Vì $SB=3SK$ nên $K$ chia đoạn $SB$ với $SK=\frac{1}{3}SB$: $K=S+\frac{1}{3}(B-S)=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2h}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(ADK)$ đi qua $A(1,0,0)$, $D(0,-1,0)$ nên có dạng $x-y+\alpha z=1$. Thay $K$: $0-\frac{1}{3}+\alpha \cdot \frac{2h}{3}=1\Rightarrow \alpha =\frac{2}{h}$. Vậy $(ADK)$: $x-y+\frac{2}{h}z=1$.

Đường thẳng $SO$ là trục $z$ ($x=y=0$). Giao điểm $I$: $\frac{2}{h}z=1\Rightarrow z=\frac{h}{2}$, tức $I$ là trung điểm $SO$.

Suy ra $IS=IO=\frac{h}{2}$, do đó $\frac{IS}{IO}=1$.

Điểm $M$ nằm trên cạnh $AB$ của đáy $(ABCD)$ nên không thuộc mặt phẳng $(SCD)$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0104, trang 5): D.