Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tính góc giữa hai đường không tọa độ (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a nên đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng a (tứ diện SAB, SBC, SCD, SDA đều đều). a) Đáy là hình vuông nên hai đường chéo AC ⊥ BD → đúng. b) IJ là đường trung bình của tam giác SBC nên IJ ∥ SB, do đó góc (IJ, BD) = góc (SB, BD) = góc SBD (đỉnh B), không phải góc SDB (đỉnh D) → sai. c) CD ∥ AB nên góc (SA, CD) = góc (SA, AB) = góc SAB; tam giác SAB đều nên góc này bằng 60°, không phải 90° → sai. d) IJ ∥ SB và CD ∥ AB nên góc (IJ, CD) = góc (SB, AB) = góc SBA = 60° (tam giác SAB đều) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình vuông nên hai đường chéo vuông góc: AC ⊥ BD.
b) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ SB nên góc (IJ, BD) = góc SBD (đỉnh B), không phải góc SDB.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB, tam giác SAB đều nên góc (SA, CD) = góc SAB = 60° ≠ 90°.
d) (AI giải đề cho tôi)
IJ ∥ SB, CD ∥ AB nên góc (IJ, CD) = góc SBA = 60° vì tam giác SAB đều.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó góc giữa $SC$ và $AD$ bằng góc giữa $SC$ và $BC$, tức là $\widehat{SCB}$. Tam giác $SBC$ cân tại $S$ ($SB=SC$) nên $\widehat{SCB}=\frac{180^{\circ }-80^{\circ }}{2}=50^{\circ }$. Vậy góc giữa $SC$ và $AD$ bằng $50^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: $B(0,0,0),C(a,0,0),D(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0),A(\frac{a}{2},\frac{a}{2\sqrt{3}},a\sqrt{\frac{2}{3}})$. a) $\overrightarrow{AD}=(0,\frac{a}{\sqrt{3}},-a\sqrt{\frac{2}{3}})$, $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$, tích vô hướng bằng 0 nên góc $90^{\circ }$: đúng. b) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $AN$; pháp tuyến $(ABN)$ tỉ lệ $(1,-\sqrt{3},0)$, pháp tuyến $(ACD)$ tỉ lệ $(\sqrt{6},\sqrt{2},1)$; tích vô hướng $\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$ nên góc bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$: sai. c) $\cos (AB,(BCD))=\frac{h}{AB}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{6}$: sai. d) Gọi $M$ trung điểm $BC$, $AM=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\cos [A,BC,D]=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1}{2\cdot \frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$, góc $\approx 70,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ vì $\overrightarrow{AD}=(0,\frac{a}{\sqrt{3}},-a\sqrt{\frac{2}{3}})$ vuông góc $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$, nên góc bằng $90^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là $AN$; hai pháp tuyến $(1,-\sqrt{3},0)$ và $(\sqrt{6},\sqrt{2},1)$ vuông góc nên góc giữa $(ABN)$ và $(ACD)$ bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos$ góc giữa $AB$ và $(BCD)$ bằng $\frac{a\sqrt{2/3}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$, khác $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos [A,BC,D]=\frac{A{M}^2+D{M}^2-A{D}^2}{2AM\cdot DM}=\frac{1}{3}$ nên góc $\approx 70,5^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ trung điểm $AD$, $N$ trung điểm $BC$, ta có vectơ $\overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}{2}$. Suy ra $M{N}^2=\frac{A{B}^2+C{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC}}{4}$. Thay $AB=CD=4$, $MN=2\sqrt{3}$: $12=\frac{16+16+2\cdot 16\cos \theta }{4}$, nên $48=32+32\cos \theta \Rightarrow \cos \theta =\frac{1}{2}$. Vậy góc giữa $AB$ và $CD$ bằng $60^{\circ }$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên góc giữa $AC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng góc giữa $AC$ và $AB$. Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (Câu 6 – C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh $A^{\prime }A$ vuông góc với mặt đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, mà đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt đáy đó. Suy ra $A^{\prime }A\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$, tức góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A^{\prime }A$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vì DC // AB nên góc giữa SB và DC bằng góc giữa SB và AB, tức góc SBA trong tam giác SAB vuông tại A với SA = AB = a√3, nên góc SBA = 45° ≠ 30°.
b) Đúng. Khoảng cách từ O đến (SAB) bằng khoảng cách từ O đến AB là d = AD/2 = a/2. AO = nửa đường chéo = √(3a² + a²)/2 = a, nên SO = √(SA² + AO²) = √(3a² + a²) = 2a. Do đó sinα = d/SO = (a/2)/(2a) = 1/4.
c) Đúng. SA ⊥ (ABCD) nên tam giác SAB và SAD vuông tại A. Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B. Tương tự CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD, tam giác SCD vuông tại D. Vậy cả bốn mặt bên đều là tam giác vuông.
d) Sai. Trong hình chữ nhật có các cạnh không bằng nhau (a√3 ≠ a), hai đường chéo AC và BD không vuông góc với nhau, nên BD không vuông góc với AC, do đó BD không vuông góc với (SAC). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1111: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
DC // AB nên góc(SB, DC) = góc SBA = 45° vì tam giác SAB vuông cân tại A (SA = AB = a√3), không phải 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(O,(SAB)) = a/2, SO = 2a nên sinα = 1/4.
c) (AI giải đề cho tôi)
SAB, SAD vuông tại A; BC ⊥ (SAB) nên SBC vuông tại B; CD ⊥ (SAD) nên SCD vuông tại D.
d) (AI giải đề cho tôi)
AC và BD là hai đường chéo hình chữ nhật có cạnh khác nhau nên không vuông góc, suy ra BD không ⊥ (SAC).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\parallel AD$, do đó góc giữa $SA$ và $BC$ bằng góc giữa $SA$ và $AD$, tức là góc $SAD$. Tam giác $SAD$ vuông tại $D$ (vì $SD\perp (ABCD)$) với $SD=2a$, $AD=a$, nên $\tan (\widehat{SAD})=\frac{SD}{AD}=\frac{2a}{a}=2$. Suy ra $x=\arctan 2\approx 63,43^{\circ }\approx 63^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (63).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp lập phương $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ (vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ do $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$). Vậy góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng góc giữa $DC$ và $BD$, tức là góc $BDC$ trong hình vuông $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên đường chéo $BD$ tạo với cạnh $DC$ một góc $45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật với $AB=10,5$, $AD=8,2$, $A{A}^{\prime }=8,5$ cm; $BD=\sqrt{10,5^2+8,2^2}=\sqrt{110,25+67,24}=\sqrt{177,49}\approx 13,32$ cm.
a) Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$, góc giữa $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $AD$ bằng góc giữa $BD$ và $AD$: $\cos \alpha =\frac{AD}{BD}=\frac{8,2}{13,32}\approx 0,6156\Rightarrow \alpha \approx 52^0\ne 60^0$. Sai.
b) Góc giữa $A{D}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\widehat{D^{\prime }AD}$: $\tan \alpha =\frac{8,5}{8,2}\Rightarrow \alpha \approx 46^0\ne 45^0$. Sai.
c) $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\parallel$ đường thẳng qua $B$ vuông góc đáy, nên $d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{10,5\cdot 8,2}{13,32}\approx 6,5$ cm. Đúng.
d) Gọi $O$ là trung điểm $BD$, tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên $AO\perp BD$; cũng $A^{\prime }O\perp BD$. Diện tích $△ABD=\frac{1}{2}\cdot 10,5\cdot 8,2=43,05$, nên $AO=\frac{2\cdot 43,05}{13,32}\approx 6,46$ cm. Góc nhị diện $[A,BD,A^{\prime }]$ là $\widehat{AO{A}^{\prime }}$: $\tan \alpha =\frac{8,5}{6,46}\approx 1,316\Rightarrow \alpha \approx 52,8^0\approx 53^0$. Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 112: SSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $B^{\prime }{D}^{\prime }$ (song song $BD$) và $AD$: $\cos \alpha =\frac{8,2}{\sqrt{177,49}}\approx 0,616\Rightarrow \alpha \approx 52^0\ne 60^0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{A{A}^{\prime }}{AD}=\frac{8,5}{8,2}\Rightarrow \alpha \approx 46^0\ne 45^0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{86,1}{13,32}\approx 6,5$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AO=d(A,BD)\approx 6,46$ cm, $\tan \widehat{AO{A}^{\prime }}=\frac{8,5}{6,46}\Rightarrow \widehat{AO{A}^{\prime }}\approx 53^0$.

Ta có $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, do đó $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=45^{\circ }$ (vì $△ABC$ vuông cân tại $B$).

Vì $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ nên $(AB,B^{\prime }{D}^{\prime })=(AB,BD)=\widehat{ABD}=45^{\circ }$ (do $ABCD$ là hình vuông).

**Chọn C**
Theo tính chất hình lập phương ta có DD′ // BB′ nên
( A′B, DD′=) ( A′B, BB′=) 
A′BB=′ 45°
3

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-15, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)