Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$, gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC$, $DC$, $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: $B(0,0,0),C(a,0,0),D(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0),A(\frac{a}{2},\frac{a}{2\sqrt{3}},a\sqrt{\frac{2}{3}})$. a) $\overrightarrow{AD}=(0,\frac{a}{\sqrt{3}},-a\sqrt{\frac{2}{3}})$, $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$, tích vô hướng bằng 0 nên góc $90^{\circ }$: đúng. b) Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $AN$; pháp tuyến $(ABN)$ tỉ lệ $(1,-\sqrt{3},0)$, pháp tuyến $(ACD)$ tỉ lệ $(\sqrt{6},\sqrt{2},1)$; tích vô hướng $\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$ nên góc bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$: sai. c) $\cos (AB,(BCD))=\frac{h}{AB}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\ne \frac{\sqrt{3}}{6}$: sai. d) Gọi $M$ trung điểm $BC$, $AM=DM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\cos [A,BC,D]=\frac{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1}{2\cdot \frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$, góc $\approx 70,5^{\circ }\ne 45^{\circ }$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ vì $\overrightarrow{AD}=(0,\frac{a}{\sqrt{3}},-a\sqrt{\frac{2}{3}})$ vuông góc $\overrightarrow{BC}=(a,0,0)$, nên góc bằng $90^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến là $AN$; hai pháp tuyến $(1,-\sqrt{3},0)$ và $(\sqrt{6},\sqrt{2},1)$ vuông góc nên góc giữa $(ABN)$ và $(ACD)$ bằng $90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos$ góc giữa $AB$ và $(BCD)$ bằng $\frac{a\sqrt{2/3}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$, khác $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos [A,BC,D]=\frac{A{M}^2+D{M}^2-A{D}^2}{2AM\cdot DM}=\frac{1}{3}$ nên góc $\approx 70,5^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.