Câu 3. (0,5 điểm) Cho hàm số $f(x)=\ln \left(\frac{x}{x+2}\right)$. Tính tổng $S=f^{\prime }(1)+f^{\prime }(3)+f^{\prime }(5)+\dots +f^{\prime }(2025)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\ln x-\ln (x+2)$ (xác định với $x>0$), nên $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)}$. Do đó $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$ với $x$ lẻ từ 1 đến 2025. Tổng là chuỗi telescoping: $S=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2027}\right)=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$.