Câu 4. (1,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$, $SA=a$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$.



a) (0,5 điểm) Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

b) (0,5 điểm) Tính sin của góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $(SIJ)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ là chiều cao của chóp. Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (tam giác đều cạnh $a$).

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$.

b) Vì $IJ\parallel AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$) nên $AB\parallel (SIJ)$.

Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $C(a;0;0)$, $B\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right)$, $S(0;0;a)$, khi đó $I\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $J\left(\frac{3a}{4};\frac{a\sqrt{3}}{4};0\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(SIJ)$: $\vec{n}=\overrightarrow{SI}\times \overrightarrow{SJ}$ cùng phương với $(2\sqrt{3};-2;\sqrt{3})$, phương trình mặt phẳng: $2\sqrt{3}x-2y+\sqrt{3}z-\sqrt{3}a=0$ (kiểm tra: $J$ thuộc mặt phẳng).

Khoảng cách từ $C(a;0;0)$ đến $(SIJ)$: $d(C,(SIJ))=\frac{|2\sqrt{3}a-\sqrt{3}a|}{\sqrt{12+4+3}}=\frac{\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}$.

Vì $J\in (SIJ)$ nên đường thẳng $BC$ cắt mặt phẳng $(SIJ)$ tại $J$, do đó sin của góc giữa $BC$ và $(SIJ)$ là:

$\sin \alpha =\frac{d(C,(SIJ))}{BC}=\frac{\sqrt{3}a/\sqrt{19}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{\sqrt{57}}{19}$.