Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định lý Thales không gian và tỉ số đoạn (Toán học Lớp 11)

Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ song song $(MNP)$ cắt $NH$ tại $J$ suy ra $IJ//(MNP)$.

Giả thiết có $\frac{QH}{QP}=\frac{2}{3}=\frac{QK}{QM}\Rightarrow HK//MP$ mà $IJ//(MNP)$ nên $IJ//KH$.

$\frac{KH}{MP}=\frac{QH}{QP}=\frac{2}{3}\Rightarrow KH=\frac{2}{3}QP=\frac{2}{3}2a=\frac{4}{3}a$.

Gọi $F=QG\cap MN$.

Ta có: $\frac{QG}{QF}=\frac{QK}{QM}=\frac{2}{3}\Rightarrow KG//MF$.

$\Rightarrow \frac{KG}{MF}=\frac{QK}{QM}=\frac{2}{3}\Rightarrow KG=\frac{2}{3}MF=\frac{2}{3}NF$.

$\Rightarrow \frac{KI}{NI}=\frac{KG}{NF}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{IJ}{HK}=\frac{NI}{NK}=\frac{3}{5}$.

$IJ=\frac{3}{5}HK=\frac{3}{5}.\frac{4}{3}a=\frac{4}{5}a$.

Ta có mặt phẳng (ABB')//(DCC'D') nên AB'//D'C'
Tương tự mặt phẳng (ADD') //(BCC'B') nên AD'//B'C'. Vậy tứ giác AB'C'D' là hình bình hành.
Gọi $O=AC\cap BD,O^{\prime }=A{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$. Ta có $O{O}^{\prime }=\frac{B{B}^{\prime }+D{D}^{\prime }}{2}=3$.
Mặt khác $C{C}^{\prime }=2O{O}^{\prime }=6$.
(Điểm: 0,25, 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Qua $M$ kẻ đường thẳng song song $SA$ cắt $(SBC)$ tại $N$. Vì đường thẳng qua $M$ song song $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, nên $N$ thuộc giao tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$, tức $N$ nằm trên đường thẳng $SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $MN//SA$ nên theo định lý Thales: $\frac{MN}{SA}=\frac{BN}{BS}$ (đặt $k_1=\frac{BN}{BS}$). Tương tự, đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cắt $(SAD)$ tại $P$; vì đường này nằm trong mặt phẳng $(SBA)$ nên $P$ thuộc giao tuyến của $(SBA)$ và $(SAD)$, tức $P$ nằm trên $SA$, và $\frac{MP}{SB}=\frac{AP}{AS}$ (đặt $k_2=\frac{AP}{AS}$). Gọi $I$ là giao điểm của $SM$ với $AB$ (M bên trong hình thang nên $I$ nằm trên đoạn $AB$). Trong tam giác $SAB$, đường thẳng qua $M$ song song $SA$ cho $\frac{BN}{BS}=\frac{BI}{BA}$; đường thẳng qua $M$ song song $SB$ cho $\frac{AP}{AS}=\frac{AI}{AB}$. Vì $I$ nằm giữa $A$ và $B$ nên $\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Vậy $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=\frac{BI}{BA}+\frac{AI}{AB}=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 21, Mã đề 211: 1).