Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, góc $\widehat{BAC}$ nhọn. Góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ là $30^{\circ }$, khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ là $a$. Góc giữa hai mặt bên $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ và $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ là $60^{\circ }$. Thể tích lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

Vì $ABC$ cân tại $A$ và góc giữa hai mặt bên là $60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều.
$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng góc $\widehat{B^{\prime }B{C}^{\prime }}=30^{\circ }$.
Khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ là khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, chính là chiều cao $AH$ của đáy tam giác đều $ABC$.
Do đó $AH=a\Rightarrow \frac{BC\sqrt{3}}{2}=a\Rightarrow BC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Diện tích đáy $S_{ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot a=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$.
Trong tam giác vuông $B{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $B^{\prime }$: $B{B}^{\prime }=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{\tan 30^{\circ }}=\frac{2a/\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}=2a$.
Thể tích lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\cdot 2a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$.