Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Biết cạnh bên $a\sqrt{3}$.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AA' đến mặt phẳng (BCC'B').

(AI giải đề cho tôi)
a) Đáy ABC là tam giác đều cạnh a nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$ và lăng trụ đứng nên chiều cao $h=a\sqrt{3}$. Thể tích: $V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a\sqrt{3}=\frac{3a^3}{4}$.

b) Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, do đó $A{A}^{\prime }\parallel (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Khoảng cách từ $A{A}^{\prime }$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ (vì $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\perp (ABC)$ theo giao tuyến $BC$). Kẻ $AH\perp BC$ với $H$ là trung điểm $BC$, thì $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $d(A{A}^{\prime },(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.