Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Biết đường chéo của lăng trụ AC' = 9.
a) Tính thể tích của khối lăng trụ ABCD.A'B'C'D'.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BD.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông cạnh 4, đường chéo lăng trụ AC' = 9.

a) Trong hình vuông ABCD: $AC=4\sqrt{2}$, nên $A{C}^2=32$. Vì lăng trụ đứng nên $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$, tam giác ACC' vuông tại C: $C{C}^{\prime 2}=A{C}^{\prime 2}-A{C}^2=81-32=49\Rightarrow C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=7$.

Thể tích: $V=S_{ABCD}\cdot A{A}^{\prime }=4^2\cdot 7=112$ (đơn vị khối).

b) Vì $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, mà $A{A}^{\prime }\not\subset (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên $d(A{A}^{\prime },BD)=d(A,(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }))=d(A,BD)$ (do $ABCD\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$).

Khoảng cách từ A đến đường chéo BD của hình vuông cạnh 4:
$$d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{4\cdot 4}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.$$

Vậy $d(A{A}^{\prime },BD)=2\sqrt{2}$ (đơn vị độ dài).