Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=A{A}^{\prime }=a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng và $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $CA\perp AB$ và $CA\perp A{A}^{\prime }\Rightarrow CA\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })\Rightarrow C^{\prime }{A}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Do đó hình chiếu vuông góc của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $B{A}^{\prime }$. Góc giữa $B{C}^{\prime }$ và $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là góc $\widehat{C^{\prime }B{A}^{\prime }}$. Tam giác $C^{\prime }{A}^{\prime }B$ vuông tại $A^{\prime }$ có $C^{\prime }{A}^{\prime }=a$ và $B{A}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$. Tang của góc là $\tan \widehat{C^{\prime }B{A}^{\prime }}=\frac{C^{\prime }{A}^{\prime }}{B{A}^{\prime }}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn D.