Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=2a$, góc giữa $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Đáy $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=2a\Rightarrow AB=AC=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $AM\perp BC$ và $AM=a$. Kẻ $AH\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, do $AM\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ nên $d(A,(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=AM=a$. Góc giữa $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$ cho phép xác định chiều cao lăng trụ $h=A{A}^{\prime }=2a$. Thể tích tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{△B{B}^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot d(A,(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }))=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2a\right)\cdot a=\frac{2a^3}{3}$. Vậy chọn A.