Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ $M(-1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(Oxz)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha ):\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1$ là

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý, biểu thức $P=\frac{a^{\frac{5}{2}}{b}^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{3}{2}}{b}^{-\frac{3}{2}}}$ bằng

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Một hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy. Góc ở đỉnh của hình nón bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3(2x-1)>1$ là

Đồ thị trong hình vẽ bên là của một trong bốn hàm số dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?


Tập xác định của hàm số $y=(1-x{)}^{\sqrt{2}}$ là

Phần thực của số phức $z=(1-2i)(3i+4)$ bằng

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=2,u_2=-1$. Số hạng $u_4$ của dãy số đã cho bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x^2-2x)(x^2-2x+4)$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)-1$ trên $[-1;3]$ bằng


Với $a$ là số thực dương khác 1 tùy ý, biểu thức ${\log }_{a^2}(a^4+a^3)$ bằng

Cho hai số phức $z=-3+2i$ và $w=1-4i$. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, điểm biểu diễn số phức $u=\bar{z}+w$ là

Cho lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a,A{A}^{\prime }=\sqrt{6}a$. Góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-2)$ và $B(2;2;1)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Biết ${\int }_1^{2}f(x)dx=2$ và ${\int }_1^{2}g(x)dx=6$. Khi đó ${\int }_1^2[f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2-t\\ z=3t\end{array}$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=1$. Tích phân ${\int }_0^{1}f(1-x)dx$ bằng

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=4$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(1;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x-2y+z-4=0$. Phương trình mặt cầu tâm $I$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ là

Cho số phức $z=1-2i$. Môđun của số phức $(1+i)z$ bằng

Từ một hộp chứa 7 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu cùng màu bằng

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên. Hỏi phương trình $2f(x-1)=1$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $(-\infty ;0)$?


Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=a,A{A}^{\prime }=\sqrt{2}a$. Tính theo $a$ khoảng cách từ $A$ đến $(A^{\prime }BC)$.

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng nào sau đây vuông góc với mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+1=0$?

Một quả bóng rổ có chu vi đường tròn lớn bằng $77\text{ cm}$. Diện tích da để may quả bóng rổ đó gần nhất với số nào dưới đây?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $g(x)=f(2-x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?


Cho khối lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $18$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $3$. Độ dài cạnh $A{A}^{\prime }$ bằng

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^3$ và $y=2x-x^2$ được tính bởi công thức nào dưới đây?

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^2-2az+b^2-1=0$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Có bao nhiêu cặp số thực $(a,b)$ sao cho phương trình trên có hai nghiệm $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-3-2i|=\sqrt{5}$ và $|z_2-i|=|z_2+1|$?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $BC=2a$, góc giữa $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ và $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao bằng $\frac{3R}{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ song song với trục của hình trụ và cách trục một khoảng bằng $\frac{R}{2}$. Diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$ bằng

Một vật lưu niệm cao $15\text{ cm}$, gồm hai hình nón chung đỉnh và chung trục như hình vẽ, đường sinh bất kỳ của hai hình nón luôn tạo với mặt đáy một góc $60^{\circ }$. Biết rằng thể tích của khối nón nhỏ bằng $12,5\%$ thể tích của khối nón lớn. Tính thể tích của vật lưu niệm đó?


Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=25$ và hai điểm $A(1;1;2),B(3;-1;0)$. Xét đường thẳng $\Delta$ thay đổi qua $A$ và cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm $M,N$. Khi $MN$ ngắn nhất, đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào dưới đây?

Cho hai hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ và $g(x)=m{x}^3+n{x}^2+px+q$ với $a,b,c,d,m,n,p,q\in \mathbb{R}$. Đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $-1;1;3$. Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đã cho bằng $\frac{64}{15}$. Giá trị của $f(0)-g(0)$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ thỏa mãn $f(2)=1$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $g(x)=f(x)+\frac{1}{x}$ có bao nhiêu điểm cực trị?


Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $x\le 2024$ và $2^{x-1}-2^y=y-x+1$?

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={\log }_{2}x,y=0$ và $x=4$ xung quanh đường thẳng $x=4$ thu được khối tròn xoay có thể tích gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-1+2i|=2$ và $|z_2-4-2i|=3$. Giá trị nhỏ nhất của $|z_1-z_2|$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$). Đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và đường thẳng $x=4$ tạo ra 3 hình phẳng có diện tích là $S_1,S_2,S_3$ (hình vẽ bên). Biết $S_1+S_3=S_2+\frac{5}{6}$, tích phân ${\int }_{-1}^4(2x-1)f^{\prime }(x)dx$ bằng


Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $a$ để hàm số $g(x)=f\left(\frac{1}{8}(2x^4+a)-2x^2\right)$ đồng biến trên khoảng $(0;1)$?