Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB$. Cho biết $AB=2a$, $BC=\sqrt{13}a$, $C{C}^{\prime }=4a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $CE$ bằng

Chọn A.
Trong tam giác vuông $ABC$ tại $A$: $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{13a^2-4a^2}=3a$.
Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $AE=a$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $A(0;0;0)$, tia $Ax$ chứa $AB$, tia $Ay$ chứa $AC$, tia $Az$ chứa $A{A}^{\prime }$:
- $A(0;0;0)$,
- $B(2a;0;0)$,
- $C(0;3a;0)$,
- $A^{\prime }(0;0;4a)$,
- $E(a;0;0)$.
Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(2a;0;-4a)$ và $\overrightarrow{CE}=(a;-3a;0)$.
Tích có hướng: $[\overrightarrow{A^{\prime }B},\overrightarrow{CE}]=(-12a^2;-4a^2;-6a^2)=-2a^2(6;2;3)$.
Chọn vectơ pháp tuyến chung là $\vec{n}=(6;2;3)$.
Ta có $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=(0;-3a;4a)$.
Khoảng cách giữa $A^{\prime }B$ và $CE$ là:
$$d(A^{\prime }B,CE)=\frac{|\overrightarrow{C{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|0\cdot 6+(-3a)\cdot 2+4a\cdot 3|}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}}=\frac{|-6a+12a|}{\sqrt{49}}=\frac{6a}{7}.$$