Cho khối lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng

Chọn D.
Vì lăng trụ tam giác đều nên $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó hình chiếu vuông góc của $A{B}^{\prime }$ trên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
Suy ra góc giữa $A{B}^{\prime }$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là góc $\widehat{A{B}^{\prime }{A}^{\prime }}$.
Tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông tại $A^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=a$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=a$, nên $\tan \widehat{A{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=\frac{A{A}^{\prime }}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=1⟹\widehat{A{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=45^{\circ }$.