Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$, $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$. Tính thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Gọi $O$ là hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$. Do $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C$ nên $OA=OB=OC$, do đó $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$.
Gọi $I$ là trung điểm $BC$, ta có $AI\perp BC$ và $A^{\prime }I\perp BC$, góc giữa $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }IO}=60^{\circ }$.
Đáy $ABC$ đều cạnh $a$ nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, đường cao $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $OI=\frac{1}{3}AI=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.
Trong tam giác vuông $A^{\prime }OI$: $A^{\prime }O=OI\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{6}\cdot \sqrt{3}=\frac{a}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }O=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$. Chọn A.