Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ bằng $60^{\circ }$ (tham khảo hình bên dưới). Tính thể tích $V$ khối lăng trụ đó.


Gọi $I,J,K$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime },AB$. Khi đó $IJ\parallel B{C}^{\prime }$ và $IK\parallel A{B}^{\prime }$, do đó $(A{B}^{\prime },B{C}^{\prime })=(IJ,IK)=60^{\circ }$. Đặt $A{A}^{\prime }=x>0$. Ta có $IJ=IK=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+4a^2}$. Gọi $H$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Ta có $KJ=\sqrt{K{H}^2+H{J}^2}=\sqrt{x^2+a^2}$. Xét hai trường hợp góc $\widehat{JIK}$ bằng $60^{\circ }$ hoặc $120^{\circ }$: TH $\widehat{JIK}=60^{\circ }$ dẫn đến $x=0$ (loại). TH $\widehat{JIK}=120^{\circ }$ cho phương trình $K{J}^2=3I{J}^2\iff x^2+a^2=\frac{3}{4}(x^2+4a^2)\iff x^2=8a^2\iff x=2a\sqrt{2}$. Khi đó $V=A{A}^{\prime }\cdot S_{ABC}=2a\sqrt{2}\cdot \frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{6}{a}^3$.


Chọn B.